9. На вращающемся диске на расстоянии R1 = 30 см от оси вращения лежит тело массой m1 = 250 г. На каком расстоянии R2 от оси вращения должно лежать тело массой m2 = 360 г, чтобы оно обладало относительно земли такой же кинетической энергией, как и первое тело? Считайте, что трение достаточное, чтобы тела оставались неподвижными относительно диска. Ответ: ______ см.

Объяснение: Когда тело находится на вращающемся диске и остается неподвижным относительно него, его скорость (линейная) равна $$v = \omega R$$, где $$\omega$$ - угловая скорость диска, а $$R$$ - расстояние от оси вращения. Кинетическая энергия $$E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\omega R)^2$$.

По условию, кинетическая энергия первого тела ($$E_{k1}$$) равна кинетической энергии второго тела ($$E_{k2}$$). Диск вращается с одинаковой угловой скоростью $$\omega$$ для обоих тел.

$$E_{k1} = E_{k2}$$

$$\frac{1}{2}m_1(\omega R_1)^2 = \frac{1}{2}m_2(\omega R_2)^2$$

Сократим одинаковые множители:

$$m_1 R_1^2 = m_2 R_2^2$$

Выразим $$R_2$$:

$$R_2^2 = \frac{m_1 R_1^2}{m_2}$$

$$R_2 = R_1 \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$$

Подставим значения. Сначала переведем массы в одну систему единиц (например, кг):

$$m_1 = 250 \text{ г} = 0.250 \text{ кг}$$

$$m_2 = 360 \text{ г} = 0.360 \text{ кг}$$

$$R_1 = 30 \text{ см}$$

$$R_2 = 30 \text{ см} \times \sqrt{\frac{0.250 \text{ кг}}{0.360 \text{ кг}}} = 30 \text{ см} \times \sqrt{\frac{25}{36}} = 30 \text{ см} \times \frac{5}{6} = 25 \text{ см}$$

Ответ: 25 см.