10. Внутри угла A, равного 60°, взята точка M. Расстояния от точки M до сторон угла равны 4 см и 8 см. Найдите расстояние от точки M до вершины угла A.

Пусть перпендикулярные расстояния до сторон равны \(p=4\) см и \(q=8\) см. Если расстояние от вершины до точки равно \(r\), а угол равен \(60^\circ\ni\frac{\pi}{3}\), то сумма квадратов расстояний до сторон равна \(r^2(\sin^2\theta+\sin^2(60^\circ-\theta))\). При фиксированном угле сумма синусов в скобках зависит от положения точки, поэтому одного лишь набора двух расстояний может быть недостаточно.

Однако координатно стороны угла можно задать единичными векторами под углом 60°. Точка с расстояниями 4 и 8 находится на пересечении прямых, параллельных этим сторонам и отстоящих от них на указанные расстояния. Существуют две такие точки внутри угла, соответствующие перестановке расстояний по сторонам; в обоих случаях расстояние до вершины удовлетворяет \(r^2=\frac{p^2+q^2+2pq\cos60^\circ}{\sin^2 60^\circ}=\frac{16+64+32}{3/4}=\frac{448}{3}\).

Следовательно, \(r=\frac{8\sqrt{21}}{3}\) см.

Ответ: \(\frac{8\sqrt{21}}{3}\) см.