6. Сократите дробь \(\frac{a-7b}{a-2\sqrt{7a}\sqrt{b}+7b}\) и найдите значение полученного выражения при \(a=9,\ b=7\).

Знаменатель — квадрат разности: \(a-2\sqrt{7a}\sqrt b+7b=(\sqrt a-\sqrt{7b})^2\), поскольку \(\sqrt{7a}\sqrt b=\sqrt{7b}\sqrt a\). Числитель раскладывается так: \(a-7b=(\sqrt a-\sqrt{7b})(\sqrt a+\sqrt{7b})\).

Сокращаем общий множитель, при условии что исходный знаменатель не равен нулю: \(\frac{a-7b}{a-2\sqrt{7a}\sqrt b+7b}=\frac{\sqrt a+\sqrt{7b}}{\sqrt a-\sqrt{7b}}\).

При \(a=9,\ b=7\) знаменатель исходной дроби равен нулю: \(9-2\sqrt{63}\sqrt7+49=58-42=16\) — исправление: \(\sqrt{63}\sqrt7=21\), следовательно, знаменатель равен \(9-42+49=16\). Подстановка в сокращённую дробь даёт \(\frac{3+7}{3-7}=-\frac52\).

Ответ: \(-\frac52\).