10. Высота прямой треугольной призмы равна √3 см, сечение, проходящее через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания, — равнобедренный треугольник с углом при вершине 120°. Диагонали двух боковых граней призмы равны 6 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Две стороны основания соответствуют боковым граням с диагоналями 6 см:

\(a=\sqrt{6^2-(\sqrt3)^2}=\sqrt{33}\text{ см}\).

Сечение — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 6 см и углом между ними 120°. Его основание:

\(b^2=6^2+6^2-2\cdot6\cdot6\cos120^\circ=108\), поэтому \(b=6\sqrt3\text{ см}\).

Периметр основания призмы:

\(P=2\sqrt{33}+6\sqrt3\).

Площадь боковой поверхности:

\(S_{\text{бок}}=P\cdot h=(2\sqrt{33}+6\sqrt3)\sqrt3=6\sqrt{11}+18\text{ см}^2\).

Ответ: \(18+6\sqrt{11}\) см².