9. Площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы равна 36·(2+√3/3) см². Диагонали боковых граней составляют с основанием призмы углы 45°, 45° и 60°. Найдите площадь сечения, проведённого через меньшую сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания призмы.

Для диагонали боковой грани \(\tan\alpha=h/a\). При углах 45°, 45° и 60° стороны основания пропорциональны:

\(h,\ h,\ h/\sqrt3\).

Тогда периметр основания равен \(h(2+\sqrt3/3)\), а площадь боковой поверхности:

\(h^2(2+\sqrt3/3)=36(2+\sqrt3/3)\).

Следовательно, \(h=6\text{ см}\). Стороны основания: 6 см, 6 см и \(2\sqrt3\) см. Меньшая сторона — \(2\sqrt3\) см.

Высота равнобедренного треугольника к этой стороне:

\(d=\sqrt{6^2-(\sqrt3)^2}=3\sqrt3\).

Боковая сторона сечения:

\(l=\sqrt{6^2+(3\sqrt3)^2}=3\sqrt7\).

Площадь сечения:

\(S=\frac12\cdot2\sqrt3\cdot3\sqrt7=3\sqrt{21}\text{ см}^2\).

Ответ: \(3\sqrt{21}\) см².