1033. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) A (0; 1), B (1; −4), C (5; 2); б) A (−4; 1), B (−2; 4), C (0; 1).

а) AB² = (1 − 0)² + (−4 − 1)² = 26, AC² = (5 − 0)² + (2 − 1)² = 26. Значит, AB = AC, и треугольник равнобедренный. Площадь равна половине модуля определителя векторов AB = (1; −5) и AC = (5; 1): S = |1 · 1 − (−5) · 5| / 2 = 13.

б) AB² = (−2 + 4)² + (4 − 1)² = 13, BC² = (0 + 2)² + (1 − 4)² = 13. Значит, AB = BC, и треугольник равнобедренный. Основание AC имеет длину 4, а высота к нему равна 3, поэтому S = 4 · 3 / 2 = 6.

Ответ: а) AB = AC, S = 13; б) AB = BC, S = 6.