1046. В работах Леонарда Эйлера используется тождество \((p^2+cq^2)(r^2+cs^2)=(pr+cqs)^2+c(ps-qr)^2\). Докажите это тождество.

Раскроем скобки справа:

\((pr+cqs)^2+c(ps-qr)^2=p^2r^2+2cpqrs+c^2q^2s^2+cp^2s^2-2cpqrs+cq^2r^2\).

Слагаемые \(2cpqrs\) и \(-2cpqrs\) сокращаются. Оставшееся выражение сгруппируем:

\(p^2r^2+cp^2s^2+cq^2r^2+c^2q^2s^2=p^2(r^2+cs^2)+cq^2(r^2+cs^2)=(p^2+cq^2)(r^2+cs^2)\).

Получили левую часть, следовательно, тождество доказано.