1047. Докажите, что квадрат числа, являющегося суммой квадратов двух различных натуральных чисел, можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Пусть исходное число равно \(a^2+b^2\), где \(a\) и \(b\) — различные натуральные числа. Возведём его в квадрат:

\((a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2\).

Действительно, раскрытие скобок справа даёт \(a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2=a^4+2a^2b^2+b^4=(a^2+b^2)^2\). Поскольку \(a\ne b\), число \(|a^2-b^2|\) натуральное; \(2ab\) также натуральное. Таким образом, квадрат исходного числа представлен суммой квадратов двух натуральных чисел.