106. Вершины треугольника A₁B₁C₁ являются серединами сторон треугольника ABC. Докажите, что Pₐᵦ꜀ = 2Pₐ₁ᵦ₁꜀₁.

Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, CA и AB соответственно. По теореме о средней линии:

\(A_1B_1=\frac12 AB,\quad B_1C_1=\frac12 BC,\quad C_1A_1=\frac12 CA.\)

Сложим равенства для сторон треугольника A₁B₁C₁:

\(P_{A_1B_1C_1}=\frac12(AB+BC+CA)=\frac12P_{ABC}.\)

Следовательно, \(P_{ABC}=2P_{A_1B_1C_1}\), что и требовалось доказать.