108. а) Докажите, что в треугольнике ABC средняя линия KM и медиана BN точкой пересечения O делятся пополам (рис. 104).

Так как KM — средняя линия треугольника ABC, точки K и M — середины AB и BC, а \(KM\parallel AC\). Пусть медиана BN пересекает KM в точке O.

Рассмотрим треугольники BKO и BAN. У них общий угол при B, а \(BK=\frac12 BA\). Поскольку KO лежит на KM, а KM параллельна AN, треугольники подобны. Коэффициент подобия малого треугольника к большому равен \(BK:BA=1:2\), поэтому \(BO:BN=1:2\). Значит, \(BO=\frac12 BN\), и, следовательно, \(BO=ON\).

Таким образом, точка O — середина медианы BN: средняя линия и медиана делятся точкой пересечения пополам.