107. Докажите, что три средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.

Пусть в треугольнике ABC точки D, E и F — середины сторон AB, BC и AC. Проведём средние линии DE, EF и FD. По свойству средней линии каждая из них параллельна третьей стороне и равна её половине.

У каждого из четырёх получившихся треугольников стороны равны соответственно \(\frac12 AB\), \(\frac12 BC\) и \(\frac12 AC\): у центрального треугольника DEF это следует из того, что его стороны — средние линии; у каждого углового треугольника — из того же свойства и того, что D, E, F являются серединами сторон.

Значит, соответствующие стороны всех четырёх треугольников равны. По третьему признаку равенства треугольников все четыре треугольника равны.