1069. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки A в 2 раза больше расстояния от точки B.

Искомые точки P удовлетворяют условию \(PA=2PB\). Пусть \(A=(a_1;a_2)\), \(B=(b_1;b_2)\), а \(P=(x;y)\). Тогда \((x-a_1)^2+(y-a_2)^2=4((x-b_1)^2+(y-b_2)^2)\).

Это уравнение окружности: после раскрытия скобок коэффициенты при \(x^2\) и \(y^2\) одинаковы, а радиус положителен при различных A и B. Следовательно, искомое множество — окружность Аполлония. Её центр имеет координаты \(\left(\frac{4b_1-a_1}{3};\frac{4b_2-a_2}{3}\right)\), а радиус равен \(\frac{2}{3}AB\).

Если \(A=B\), условие превращается в \(PA=2PA\), и ему удовлетворяет только точка A.

Ответ: при \(A\ne B\) — окружность с центром \(\left(\frac{4b_1-a_1}{3};\frac{4b_2-a_2}{3}\right)\) и радиусом \(\frac23 AB\); при \(A=B\) — только точка A.