108. Решить уравнение: 1) $3^{x^2+x-12}=1$; 2) $2^{x^2-7x+10}=1$; 3) $2^{\frac{x-1}{x-2}}=4$; 4) $0{,}5^{\frac1x}=4^{\frac1{x+1}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 108. Решить уравнение: 1) $3^{x^2+x-12}=1$; 2) $2^{x^2-7x+10}=1$; 3) $2^{\frac{x-1}{x-2}}=4$; 4)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как основание 3 не равно 1, показатель равен нулю: $x^2+x-12=0$. Разложение $(x+4)(x-3)=0$ даёт $x=-4$ или $x=3$.
Показатель равен нулю: $x^2-7x+10=0$. Разложение $(x-2)(x-5)=0$ даёт $x=2$ или $x=5$.
Область допустимых значений: $x\ne2$. Поскольку $4=2^2$, получаем $\frac{x-1}{x-2}=2$. Тогда $x-1=2x-4$, откуда $x=3$.
Область допустимых значений: $x\ne0,-1$. Записываем обе части по основанию 2: $2^{-1/x}=2^{2/(x+1)}$. Поэтому $-\frac1x=\frac2{x+1}$, откуда $-x-1=2x$ и $x=-\frac13$; значение допустимо.

Ответ: 1) $-4, 3$; 2) 2, 5; 3) 3; 4) $-\frac13$.

108. Решить уравнение: 1) \(3^{x^2+x-12}=1\); 2) \(2^{x^2-7x+10}=1\); 3) \(2^{\frac{x-1}{x-2}}=4\); 4) \(0{,}5^{\frac1x}=4^{\frac1{x+1}}\).