11. Докажите, что √2 — иррациональное число.

Предположим, что \(\sqrt2\) — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m,n\) — целые числа, \(n\ne0\).

Из \(\sqrt2=\frac mn\) получаем \(m^2=2n^2\). Значит, \(m^2\) — чётное число, поэтому \(m\) чётно: \(m=2k\).

Подставим: \(4k^2=2n^2\), откуда \(n^2=2k^2\). Следовательно, \(n\) также чётно.

Но тогда числитель и знаменатель дроби \(\frac mn\) имеют общий делитель 2, что противоречит её несократимости. Следовательно, предположение неверно.

Ответ: \(\sqrt2\) — иррациональное число.