11. Исследуйте функцию y = x³ − 12x + 4 и постройте её график.

Рассмотрим функцию \(f(x)=x^3-12x+4\).

1. Область определения: \(x\in\mathbb R\).
2. Найдём производную: \(f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)\).
3. Критические точки: \(x=-2\) и \(x=2\).
4. Функция возрастает на \((-\infty,-2)\) и \((2,+\infty)\), убывает на \((-2,2)\).
5. \(f(-2)=(-2)^3-12(-2)+4=20\), поэтому в точке \((-2,20)\) — максимум.
6. \(f(2)=2^3-12\cdot2+4=-12\), поэтому в точке \((2,-12)\) — минимум.
7. Вторая производная: \(f''(x)=6x\). Точка перегиба: \(x=0\), \(f(0)=4\), то есть \((0,4)\).

Ответ: максимум функции равен 20 при x = −2; минимум равен −12 при x = 2.