11. Найди наибольшее целое решение неравенства \( \frac{x^2 - 7x + 12}{2 - 4x} \geq 0 \).

Решение:

Решим дробно-рациональное неравенство \( \frac{x^2 - 7x + 12}{2 - 4x} \geq 0 \).

1. Найдем корни числителя: \( x^2 - 7x + 12 = 0 \).
2. Используем теорему Виета: \( x_1 + x_2 = 7 \), \( x_1 \cdot x_2 = 12 \).
3. Корни: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 4 \).
4. Найдем корень знаменателя: \( 2 - 4x = 0 \).
5. \( -4x = -2 \)
6. \( x = \frac{-2}{-4} = 0.5 \)
7. Теперь определим знаки интервалов методом интервалов. Расставим корни на числовой оси: 0.5, 3, 4. Точка 0.5 является выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Разложим числитель на множители: \( x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4) \).

Неравенство примет вид: \( \frac{(x-3)(x-4)}{2-4x} \geq 0 \).

Рассмотрим интервалы:

• x < 0.5: Возьмем \( x=0 \). \( \frac{(-3)(-4)}{2} = \frac{12}{2} = 6 \geq 0 \) (плюс).
• 0.5 < x < 3: Возьмем \( x=1 \). \( \frac{(1-3)(1-4)}{2-4(1)} = \frac{(-2)(-3)}{-2} = \frac{6}{-2} = -3 \geq 0 \) (минус).
• 3 ≤ x < 4: Возьмем \( x=3.5 \). \( \frac{(3.5-3)(3.5-4)}{2-4(3.5)} = \frac{(0.5)(-0.5)}{2-14} = \frac{-0.25}{-12} = \frac{0.25}{12} \geq 0 \) (плюс).
• x ≥ 4: Возьмем \( x=5 \). \( \frac{(5-3)(5-4)}{2-4(5)} = \frac{(2)(1)}{2-20} = \frac{2}{-18} \geq 0 \) (минус).

Решением неравенства являются интервалы \( (-\infty; 0.5) \) и \( [3; 4) \).

Наибольшее целое решение находится в интервале \( [3; 4) \). Наибольшее целое число в этом интервале — 3.

Ответ: 3.