8. Сократи дробь \(\frac{3x^2 - 7x - 6}{4 - 9x^2}\)

Решение:

1. Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения \( 3x^2 - 7x - 6 = 0 \).
2. \( D = (-7)^2 - 4(3)(-6) = 49 + 72 = 121 \).
3. \( x_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3 \).
4. \( x_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 11}{6} = \frac{-4}{6} = -2/3 \).
5. Таким образом, числитель равен \( 3(x - 3)(x + 2/3) = (x - 3)(3x + 2) \).
6. Знаменатель разложим как разность квадратов: \( 4 - 9x^2 = (2 - 3x)(2 + 3x) \).
7. Теперь дробь имеет вид: \( \frac{(x - 3)(3x + 2)}{(2 - 3x)(2 + 3x)} \).
8. Обратим внимание, что \( (x - 3) = -(3 - x) \) и \( (2 - 3x) = -(3x - 2) \).
9. Перепишем дробь: \( \frac{(x - 3)(3x + 2)}{-(3x - 2)(3x + 2)} \).
10. Сократим \( (3x+2) \): \( \frac{x - 3}{-(3x - 2)} = \frac{x - 3}{2 - 3x} \).
11. Также можно заметить, что \( (3x+2) \) в числителе и \( (2+3x) \) в знаменателе совпадают.
12. \( \frac{(x-3)(3x+2)}{(2-3x)(2+3x)} = \frac{(x-3)}{2-3x} \)
13. Если в числителе \( 3x+2 \) и в знаменателе \( 2+3x \), то можно сократить.
14. \( \frac{(x-3)(3x+2)}{(2-3x)(3x+2)} = \frac{x-3}{2-3x} \)
15. Можно также переписать \( 2-3x \) как \( -(3x-2) \), тогда \( \frac{x-3}{-(3x-2)} = \frac{3-x}{3x-2} \).

Ответ: \(\frac{x - 3}{2 - 3x}\) или \(\frac{3 - x}{3x - 2}\).