12. Расстояние в 60 км Петя проехал на велосипеде на 1 ч быстрее Васи. Найдите их скорости, если скорость Пети на 3 км/ч больше скорости Васи.

Решение:

Пусть \( v_В \) — скорость Васи (км/ч), \( t_В \) — время Васи (ч). Пусть \( v_П \) — скорость Пети (км/ч), \( t_П \) — время Пети (ч).

Из условия задачи имеем:

• Расстояние \( S = 60 \) км.
• \( v_П = v_В + 3 \)
• \( t_П = t_В - 1 \)

Вспомним формулу \( S = v \cdot t \), откуда \( t = \frac{S}{v} \).

Подставим в уравнения:

• \( t_В = \frac{60}{v_В} \)
• \( t_П = \frac{60}{v_П} = \frac{60}{v_В + 3} \)

Теперь подставим выражения для \( t_В \) и \( t_П \) в уравнение \( t_П = t_В - 1 \):

• \( \frac{60}{v_В + 3} = \frac{60}{v_В} - 1 \)
• Приведем к общему знаменателю \( v_В(v_В + 3) \):
• \( \frac{60v_В}{(v_В + 3)v_В} = \frac{60(v_В + 3)}{v_В(v_В + 3)} - \frac{v_В(v_В + 3)}{v_В(v_В + 3)} \)
• \( 60v_В = 60(v_В + 3) - v_В(v_В + 3) \)
• \( 60v_В = 60v_В + 180 - v_В^2 - 3v_В \)
• Перенесем все члены в одну сторону:
• \( v_В^2 + 3v_В + 60v_В - 60v_В - 180 = 0 \)
• \( v_В^2 + 3v_В - 180 = 0 \)
• Найдем корни квадратного уравнения для \( v_В \):
• \( D = 3^2 - 4(1)(-180) = 9 + 720 = 729 \).
• \( \sqrt{D} = \sqrt{729} = 27 \).
• \( v_{В1} = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) (км/ч).
• \( v_{В2} = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \) (скорость не может быть отрицательной).
• Итак, скорость Васи \( v_В = 12 \) км/ч.
• Теперь найдем скорость Пети:
• \( v_П = v_В + 3 = 12 + 3 = 15 \) (км/ч).
• Проверим время:
• \( t_В = \frac{60}{12} = 5 \) часов.
• \( t_П = \frac{60}{15} = 4 \) часа.
• \( t_П = t_В - 1 \) => \( 4 = 5 - 1 \) — верно.

Ответ: Скорость Васи — 12 км/ч, скорость Пети — 15 км/ч.