11. Решите неравенство: (x² – 6x)² + 10(x² – 6x) + 24 < 0

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Введем замену переменной. Пусть y = x² – 6x.
   Тогда неравенство примет вид: y² + 10y + 24 < 0.
2. Шаг 2: Решим квадратное неравенство y² + 10y + 24 < 0.
   Найдем корни уравнения y² + 10y + 24 = 0.
   По теореме Виета: y₁ + y₂ = -10, y₁ * y₂ = 24.
   Корни: y₁ = -6, y₂ = -4.
   Поскольку парабола z = y² + 10y + 24 имеет ветви вверх, неравенство < 0 выполняется между корнями.
   Решение для y: -6 < y < -4.
3. Шаг 3: Вернемся к замене переменной: -6 < x² – 6x < -4.
   Это система двух неравенств:
   a) x² – 6x > -6 => x² – 6x + 6 > 0
   б) x² – 6x < -4 => x² – 6x + 4 < 0
4. Шаг 4: Решаем неравенство a) x² – 6x + 6 > 0.
   Найдем корни уравнения x² – 6x + 6 = 0.
   D = (-6)² - 4(1)(6) = 36 - 24 = 12.
   x = (6 ± √12) / 2 = (6 ± 2√3) / 2 = 3 ± √3.
   Так как парабола y = x² – 6x + 6 имеет ветви вверх, неравенство > 0 выполняется вне корней.
   Решение: x < 3 - √3 или x > 3 + √3.
5. Шаг 5: Решаем неравенство б) x² – 6x + 4 < 0.
   Найдем корни уравнения x² – 6x + 4 = 0.
   D = (-6)² - 4(1)(4) = 36 - 16 = 20.
   x = (6 ± √20) / 2 = (6 ± 2√5) / 2 = 3 ± √5.
   Так как парабола y = x² – 6x + 4 имеет ветви вверх, неравенство < 0 выполняется между корнями.
   Решение: 3 - √5 < x < 3 + √5.
6. Шаг 6: Находим пересечение решений неравенств a) и б).
   Нам нужно найти x, которые удовлетворяют условиям:
   (x < 3 - √3 или x > 3 + √3) И (3 - √5 < x < 3 + √5).
   Приближенные значения: √3 ≈ 1.73, √5 ≈ 2.24.
   3 - √3 ≈ 1.27, 3 + √3 ≈ 4.73.
   3 - √5 ≈ 0.76, 3 + √5 ≈ 5.24.
   Интервалы из а): (-∞, 1.27) ∪ (4.73, +∞).
   Интервал из б): (0.76, 5.24).
   Пересечение: (0.76, 1.27) ∪ (4.73, 5.24).
   Точнее: (3 - √5, 3 - √3) ∪ (3 + √3, 3 + √5).

Ответ: (3 - √5, 3 - √3) ∪ (3 + √3, 3 + √5)