7. Для функции y = -x² + 4x – 3 найдите: • а) область определения • б) множество значений • в) наименьшее (наибольшее) значение • г) уравнение оси симметрии • д) нули функции • е) промежутки знакопостоянства • ж) промежутки монотонности

Пошаговое решение:

1. а) Область определения:
   Для любой квадратичной функции область определения — это все действительные числа.
   D(y) = (-∞; +∞)
2. б) Множество значений:
   Ветви параболы y = -x² + 4x – 3 направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицательный (a = -1).
   Найдем координату y вершины:
   x_в = -b / (2a) = -4 / (2 * -1) = -4 / -2 = 2.
   y_в = -(2)² + 4(2) – 3 = -4 + 8 – 3 = 1.
   Так как ветви направлены вниз, максимальное значение функции равно 1.
   E(y) = (-∞; 1]
3. в) Наименьшее (наибольшее) значение:
   Наибольшее значение функции равно координате y вершины, так как ветви параболы направлены вниз.
   Наибольшее значение: 1.
   Наименьшего значения нет (стремится к -∞).
4. г) Уравнение оси симметрии:
   Ось симметрии проходит через вершину параболы.
   x = x_в = 2.
   Уравнение оси симметрии: x = 2.
5. д) Нули функции:
   Найдем корни квадратного уравнения -x² + 4x – 3 = 0.
   Умножим на -1: x² - 4x + 3 = 0.
   По теореме Виета: x₁ + x₂ = 4, x₁ * x₂ = 3.
   Корни: x₁ = 1, x₂ = 3.
   Нули функции: 1 и 3.
6. е) Промежутки знакопостоянства:
   Так как ветви параболы направлены вниз, и нули функции 1 и 3:
   y > 0 (функция положительна) на интервале (1; 3).
   y < 0 (функция отрицательна) на интервалах (-∞; 1) и (3; +∞).
7. ж) Промежутки монотонности:
   Функция возрастает до вершины (x < 2) и убывает после вершины (x > 2).
   Функция возрастает на интервале (-∞; 2).
   Функция убывает на интервале (2; +∞).