11. Решите уравнение: \((x-4)^2 - 4(x-4) - 21 = 0\)

Решение:

Сделаем замену переменной: пусть \( y = x-4 \).

Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 4y - 21 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \]

Найдём корни \(y\):

\[ y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = 7 \]

\[ y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = -3 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = x-4 \):

1) \( x-4 = 7 \) \(\Rightarrow\) \( x = 7 + 4 = 11 \)

2) \( x-4 = -3 \) \(\Rightarrow\) \( x = -3 + 4 = 1 \)

Ответ: \( x = 11, x = 1 \).