6. Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0\)

Решение:

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \frac{1}{x-2} \). Уравнение имеет смысл при \(x \neq 2\).

Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - y - 6 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]

Найдём корни \(y\):

\[ y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \]

\[ y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = \frac{1}{x-2} \):

1) \( \frac{1}{x-2} = 3 \) \(\Rightarrow\) \( 1 = 3(x-2) \) \(\Rightarrow\) \( 1 = 3x - 6 \) \(\Rightarrow\) \( 3x = 7 \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{7}{3} \)

2) \( \frac{1}{x-2} = -2 \) \(\Rightarrow\) \( 1 = -2(x-2) \) \(\Rightarrow\) \( 1 = -2x + 4 \) \(\Rightarrow\) \( 2x = 3 \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{3}{2} \)

Оба корня не равны 2, поэтому подходят.

Ответ: \( x = \frac{7}{3}, x = \frac{3}{2} \).