5. Решите уравнение: \(\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - 3 = 0\)

Решение:

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \frac{1}{x} \).

Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + 2y - 3 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

Найдём корни \(y\):

\[ y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = \frac{1}{x} \):

1) \( \frac{1}{x} = 1 \) \(\Rightarrow\) \( x = 1 \)

2) \( \frac{1}{x} = -3 \) \(\Rightarrow\) \( x = -\frac{1}{3} \)

Оба корня не равны нулю, поэтому подходят.

Ответ: \( x = 1, x = -\frac{1}{3} \).