9. Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{4}{x-1} - 12 = 0\)

Решение:

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \frac{1}{x-1} \). Уравнение имеет смысл при \(x \neq 1\).

Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + 4y - 12 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \]

Найдём корни \(y\):

\[ y_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = -6 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = \frac{1}{x-1} \):

1) \( \frac{1}{x-1} = 2 \) \(\Rightarrow\) \( 1 = 2(x-1) \) \(\Rightarrow\) \( 1 = 2x - 2 \) \(\Rightarrow\) \( 2x = 3 \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{3}{2} \)

2) \( \frac{1}{x-1} = -6 \) \(\Rightarrow\) \( 1 = -6(x-1) \) \(\Rightarrow\) \( 1 = -6x + 6 \) \(\Rightarrow\) \( 6x = 5 \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{5}{6} \)

Оба корня не равны 1, поэтому подходят.

Ответ: \( x = \frac{3}{2}, x = \frac{5}{6} \).