13. Решите уравнение: \((x+3) + 2(x+3)^2 - 8 = 0\)

Решение:

Сделаем замену переменной: пусть \( y = x+3 \).

Тогда уравнение примет вид:

\[ y + 2y^2 - 8 = 0 \]

Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения:

\[ 2y^2 + y - 8 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 1 + 64 = 65 \]

Найдём корни \(y\):

\[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{65}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + \sqrt{65}}{4} \]

\[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{65}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - \sqrt{65}}{4} \]

Теперь вернёмся к замене \( y = x+3 \):

1) \( x+3 = \frac{-1 + \sqrt{65}}{4} \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{-1 + \sqrt{65}}{4} - 3 = \frac{-1 + \sqrt{65} - 12}{4} = \frac{-13 + \sqrt{65}}{4} \)

2) \( x+3 = \frac{-1 - \sqrt{65}}{4} \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{-1 - \sqrt{65}}{4} - 3 = \frac{-1 - \sqrt{65} - 12}{4} = \frac{-13 - \sqrt{65}}{4} \)

Ответ: \( x = \frac{-13 + \sqrt{65}}{4}, x = \frac{-13 - \sqrt{65}}{4} \).