4. Решите уравнение: \(\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x} - 10 = 0\)

Решение:

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \frac{1}{x} \).

Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + 3y - 10 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]

Найдём корни \(y\):

\[ y_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = -5 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = \frac{1}{x} \):

1) \( \frac{1}{x} = 2 \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{1}{2} \)

2) \( \frac{1}{x} = -5 \) \(\Rightarrow\) \( x = -\frac{1}{5} \)

Оба корня не равны нулю, поэтому подходят.

Ответ: \( x = \frac{1}{2}, x = -\frac{1}{5} \).