11. Решите уравнение x⁴ – 4x² – 21 = 0

Решение:

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 4y - 21 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём дискриминант:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \]

Найдём корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

\[ y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = x^2 \).

Случай 1: \( y = 7 \)

\[ x^2 = 7 \]

\[ x = \pm\sqrt{7} \]

Случай 2: \( y = -3 \)

\[ x^2 = -3 \]

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, действительными корнями исходного уравнения являются \( x = \sqrt{7} \) и \( x = -\sqrt{7} \).

Ответ: \( \pm\sqrt{7} \)