12. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 11 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч).

Скорость теплохода по течению: \( v_{по теч.} = v + 5 \) (км/ч).

Скорость теплохода против течения: \( v_{против теч.} = v - 5 \) (км/ч).

Расстояние до пункта назначения: \( S = 140 \) км.

Время в пути по течению: \( t_{по теч.} = \frac{S}{v_{по теч.}} = \frac{140}{v+5} \) (часов).

Время в пути против течения: \( t_{против теч.} = \frac{S}{v_{против теч.}} = \frac{140}{v-5} \) (часов).

Общее время в пути (без учёта стоянки) = Время по течению + Время против течения.

Общее время, включая стоянку = 32 часа.

Время стоянки = 11 часов.

Следовательно, время в пути (без стоянки) = 32 - 11 = 21 час.

Составим уравнение:

\[ t_{по теч.} + t_{против теч.} = 21 \]

\[ \frac{140}{v+5} + \frac{140}{v-5} = 21 \]

Разделим обе части уравнения на 7, чтобы упростить:

\[ \frac{20}{v+5} + \frac{20}{v-5} = 3 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{20(v-5) + 20(v+5)}{(v+5)(v-5)} = 3 \]

\[ \frac{20v - 100 + 20v + 100}{v^2 - 25} = 3 \]

\[ \frac{40v}{v^2 - 25} = 3 \]

Умножим обе части на \( v^2 - 25 \) (при условии \( v
e 5 \) и \( v
e -5 \), что выполняется, так как скорость положительна и больше скорости течения):

\[ 40v = 3(v^2 - 25) \]

\[ 40v = 3v^2 - 75 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ 3v^2 - 40v - 75 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( v \). Найдём дискриминант:

\[ D = (-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-75) = 1600 + 900 = 2500 \]

Найдём корни \( v \):

\[ v_1 = \frac{-(-40) + \sqrt{2500}}{2 \cdot 3} = \frac{40 + 50}{6} = \frac{90}{6} = 15 \]

\[ v_2 = \frac{-(-40) - \sqrt{2500}}{2 \cdot 3} = \frac{40 - 50}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \]

Так как скорость теплохода в неподвижной воде не может быть отрицательной, то \( v = 15 \) км/ч.

Ответ: 15