11. Решите задачу. Сумма двух чисел равна 35. Если одно число увеличить в 4 раза, а другое на 30, то сумма полученных чисел будет равна 125. Найдите эти числа.

11. Решение задачи:

1. Обозначим неизвестные числа как $$x$$ и $$y$$.
   По условию, сумма чисел равна 35: $$x + y = 35$$.
2. Составим второе уравнение согласно условию:
   Если одно число (например, $$x$$) увеличить в 4 раза ($$4x$$), а другое (то есть $$y$$) увеличить на 30 ($$y+30$$), то их сумма будет 125: $$4x + (y + 30) = 125$$.
3. Упростим второе уравнение:
   $$4x + y + 30 = 125$$
   $$4x + y = 125 - 30$$
   $$4x + y = 95$$.
4. Теперь у нас есть система из двух уравнений:
   $$\begin{cases} x + y = 35 \\ 4x + y = 95 \end{cases}$$
5. Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $$x$$:
   $$(4x + y) - (x + y) = 95 - 35$$
   $$4x + y - x - y = 60$$
   $$3x = 60$$
   $$x = \frac{60}{3}$$
   $$x = 20$$.
6. Найдем $$y$$, подставив $$x=20$$ в первое уравнение:
   $$20 + y = 35$$
   $$y = 35 - 20$$
   $$y = 15$$.
7. Проверим:
   Сумма чисел: $$20 + 15 = 35$$.
   Увеличенное первое число: $$20 \times 4 = 80$$.
   Увеличенное второе число: $$15 + 30 = 45$$.
   Новая сумма: $$80 + 45 = 125$$. Условия задачи выполнены.

Ответ: Числа 20 и 15.