11. В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 90°, угол С равен 45°. Сравните стороны треугольника A) AB <BC Б) АВ >АС 12. Часть С. Один из углов треугольника в два раза меньше другого угла, но на 8° меньше третьего угла этого треугольника. Вычислите углы треугольника.

Задание 11. Сравнение сторон прямоугольного треугольника

Дано:

• Прямоугольный треугольник АВС.
• \( \angle B = 90^\circ \).
• \( \angle C = 45^\circ \).

Найти: Сравнение сторон треугольника.

Решение:

1. Найдем третий угол треугольника \( \angle A \). Сумма углов треугольника равна 180°: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).
2. \( \angle A + 90^\circ + 45^\circ = 180^\circ \)
3. \( \angle A + 135^\circ = 180^\circ \)
4. \( \angle A = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \).
5. Так как \( \angle A = \angle C = 45^\circ \), то треугольник АВС является равнобедренным.
6. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона АВ лежит напротив \( \angle C \), а сторона ВС лежит напротив \( \angle A \).
7. Следовательно, \( AB = BC \).
8. Сторона АС является гипотенузой (лежит напротив прямого угла \( \angle B \)). Гипотенуза всегда больше катетов. Поэтому \( AC > AB \) и \( AC > BC \).

Сравнение вариантов:

• A) \( AB < BC \) — Неверно, они равны.
• Б) \( AB > AC \) — Неверно, гипотенуза больше катета.
• В) \( AB = BC \) — Верно.
• Г) \( CA > BC \) — Верно, но этот вариант не дан в явном виде, есть только \( CA < BC \) — что неверно.

Ответ: В) AB = BC.

Задание 12. Углы треугольника

Дано:

• В треугольнике один угол в 2 раза меньше другого.
• Этот же угол на 8° меньше третьего угла.

Найти: Углы треугольника.

Решение:

1. Обозначим углы треугольника: \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \).
2. Пусть \( \alpha \) — самый маленький угол.
3. По условию, \( \alpha = \frac{1}{2} \beta \) (один угол в 2 раза меньше другого). Из этого следует, что \( \beta = 2\alpha \).
4. Также по условию, \( \alpha = \gamma - 8^\circ \) (этот угол на 8° меньше третьего). Из этого следует, что \( \gamma = \alpha + 8^\circ \).
5. Сумма углов треугольника равна 180°: \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \).
6. Подставим выражения для \( \beta \) и \( \gamma \) через \( \alpha \):
7. \( \alpha + (2\alpha) + (\alpha + 8^\circ) = 180^\circ \)
8. Сложим члены с \( \alpha \): \( 4\alpha + 8^\circ = 180^\circ \).
9. Найдем \( \alpha \): \( 4\alpha = 180^\circ - 8^\circ \) \( 4\alpha = 172^\circ \) \( \alpha = \frac{172^\circ}{4} = 43^\circ \).
10. Теперь найдем остальные углы:
• \( \beta = 2\alpha = 2 \cdot 43^\circ = 86^\circ \).
• \( \gamma = \alpha + 8^\circ = 43^\circ + 8^\circ = 51^\circ \).
11. Проверим сумму углов: \( 43^\circ + 86^\circ + 51^\circ = 180^\circ \). Все верно.

Ответ: Углы треугольника равны 43°, 86° и 51°.