11. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 6√2. Запишите решение и ответ.

Поскольку основания AD и BC параллельны, а угол A не прямой, прямые углы трапеции находятся при C и D. Обозначим меньшее основание BC через \(b=6\sqrt2\), высоту — через \(h\), а большее основание AD — через \(L\).

1. Диагональ AC делит угол A пополам, поэтому угол между AC и AD равен \(22.5^\circ\), а угол между AB и AC тоже равен \(22.5^\circ\). В прямоугольном треугольнике ADC получаем \(h/L=\tan22.5^\circ=\sqrt2-1\).

2. Из угла A, равного 45°, следует, что горизонтальная проекция стороны AB равна высоте: \(L-b=h\). Значит, \(b=L-h=L(1-\tan22.5^\circ)\). Отсюда \(h/b=\tan22.5^\circ/(1-\tan22.5^\circ)=1/\sqrt2\), поэтому \(h=6\).

3. В прямоугольном треугольнике BCD катеты равны BC и CD, где CD — высота трапеции. Следовательно, \(BD=\sqrt{(6\sqrt2)^2+6^2}=\sqrt{72+36}=6\sqrt3\).

Ответ: \(6\sqrt3\).