17. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 9. Запишите решение и ответ.

Обозначим \(AD=BC=b\), а \(AB=9\). Введём координаты: \(A=(0,0)\), \(B=(9,0)\), \(D=(b/2,\sqrt3b/2)\). Биссектриса угла A направлена под углом 30° к AB.

1. Точка M лежит на BC, поэтому её можно записать как \(M=B+s\overrightarrow{AD}\). Условие, что M лежит на биссектрисе A, даёт \(s=AB/AD=9/b\).

2. Вектор \(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AB}+(s-1)\overrightarrow{AD}\). Перпендикулярность AM и DM означает, что их скалярное произведение равно нулю. Подставляя направление биссектрисы и \(s=9/b\), получаем \(2\cdot9-b=0\), откуда \(b=18\).

3. Периметр параллелограмма равен \(2(AB+AD)=2(9+18)=54\).

Ответ: 54.