14. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 2.

Обозначим \(AD=BC=b\), а \(AB=2\). Пусть \(\vec e\) — единичный вектор вдоль AB, а \(\vec f\) — единичный вектор вдоль AD.

1. Направление биссектрисы угла A задаётся вектором \(\vec e+\vec f\). Точка M на BC имеет вид \(M=B+t\,\overrightarrow{AD}\). Из условия, что BM направлен по биссектрисе A, следует \(t=AB/AD=2/b\).

2. Направление биссектрисы угла D задаётся вектором \(\vec e-\vec f\). Для её пересечения со стороной BC параметр равен \(t=1-AB/AD=1-2/b\). Поскольку обе биссектрисы пересекаются в одной точке M, эти значения равны: \(2/b=1-2/b\). Отсюда \(b=4\).

3. Периметр параллелограмма: \(P=2(AB+AD)=2(2+4)=12\).

Ответ: 12.