11. В треугольнике ABC точка D лежит на AC, AD = DC, ∠A = 45°, ∠B = 30°, ∠DBC = 30°, BC = 14. Найдите x = AB и y = BD.

По рисунку угол при B разделён отрезком BD на углы 45° и 30°, то есть ∠ABC = 75°. Тогда вместе с ∠A = 45° получилось бы ∠C = 60°.

В треугольнике BDC углы при B и C равны 30° и 60°, значит угол BDC = 90°. По теореме синусов, поскольку BC = 14 — гипотенуза треугольника BDC, получаем \(y=BD=14\sin60°=7\sqrt3\).

Так как AD = DC, а в треугольнике BDC \(DC=14\sin30°=7\), имеем AD = 7. В треугольнике ABD известны AD = 7, ∠A = 45° и ∠ADB = 90° (так как A,D,C лежат на одной прямой и ∠BDC = 90°). Поэтому \(x=AB=7\sqrt2\).

Ответ: \(x=7\sqrt2\), \(y=7\sqrt3\).