11. Вычислите интеграл: ∫1^3 9x^2dx

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{1}^{3} 9x^2 dx \) сначала найдём первообразную для функции \( f(x) = 9x^2 \).

Первообразная \( F(x) \) находится по формуле \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \). В нашем случае \( n=2 \).

\( \int 9x^2 dx = 9 \int x^2 dx = 9 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 9 \cdot \frac{x^3}{3} + C = 3x^3 + C \).

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\( \int_{1}^{3} 9x^2 dx = [3x^3]_{1}^{3} = 3(3)^3 - 3(1)^3 = 3 \cdot 27 - 3 \cdot 1 = 81 - 3 = 78 \).

Ответ: 78