14. Решите неравенство: log5 (3x+1)<2

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_{5}(3x+1) < 2 \) выполним следующие шаги:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть положительным:

\( 3x+1 > 0 \)

\( 3x > -1 \)

\( x > -\frac{1}{3} \)

2. Преобразуем правую часть неравенства в логарифм по основанию 5: \( 2 = \log_{5}(5^2) = \log_{5}(25) \).
3. Запишем исходное неравенство в виде:

\( \log_{5}(3x+1) < \log_{5}(25) \)

4. Сравним аргументы логарифмов. Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), функция \( \log_{5}(x) \) возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

\( 3x+1 < 25 \)

\( 3x < 24 \)

\( x < 8 \)

5. Объединим решение неравенства с ОДЗ:

\( x > -\frac{1}{3} \) и \( x < 8 \).

Это означает, что \( -\frac{1}{3} < x < 8 \).

Ответ: \( \left(-\frac{1}{3}; 8\right) \)