115. Диагонали прямоугольника ABCD (см. рис. 46) пересекаются в точке O, ∠ADB = 30°, BD = 10 см. Найдите периметр треугольника AOB.

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому

\(AO=BO=\dfrac{BD}{2}=5\) см.

Угол между диагоналями \(\angle AOB\) равен

\(180^\circ-2\angle ADB=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

По теореме косинусов:

\[AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cos120^\circ=25+25+25=75.\]

Следовательно, \(AB=5\sqrt3\) см.

Периметр:

\[P_{\triangle AOB}=5+5+5\sqrt3=10+5\sqrt3\text{ см}.\]

Ответ: \(10+5\sqrt3\) см.