1178 Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

Дано:

• Правильный треугольник вписан в окружность.
• Периметр треугольника P_тр = 18 см.
• Квадрат вписан в ту же окружность.

Найти:

• Сторону квадрата a_кв.

Решение:

1. Находим сторону треугольника (a_тр):

   Так как периметр правильного треугольника равен 18 см, то сторона треугольника:

   $$ a_{тр} = \frac{P_{тр}}{3} = \frac{18 \text{ см}}{3} = 6 \text{ см} $$
2. Находим радиус описанной окружности (R):

   Для правильного треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

   $$ R = \frac{a_{тр}}{\sqrt{3}} $$

   Подставляем значение стороны треугольника:

   $$ R = \frac{6 \text{ см}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} \text{ см} = 2\sqrt{3} \text{ см} $$
3. Находим сторону квадрата (a_кв):

   Для квадрата, вписанного в окружность, сторона квадрата связана с радиусом окружности формулой:

   $$ a_{кв} = R\sqrt{2} $$

   Подставляем значение радиуса:

   $$ a_{кв} = (2\sqrt{3} \text{ см})\sqrt{2} = 2\sqrt{6} \text{ см} $$

Ответ: Сторона квадрата равна $$2\sqrt{6}$$ см.