1186 Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.

Дано:

• Два правильных шестиугольника: один вписан в окружность, другой описан около неё.
• Пусть радиус окружности равен R.

Найти:

• Отношение площадей S_вп : S_оп.

Решение:

1. Площадь вписанного шестиугольника (S_вп):

   Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R, сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности: $$a_{вп} = R$$.

   Площадь правильного шестиугольника равна:

   $$ S_{вп} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_{вп}^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2 $$
2. Площадь описанного шестиугольника (S_оп):

   Для правильного шестиугольника, описанного около окружности радиуса R, радиус вписанной окружности равен R. Связь между стороной $$a_{оп}$$ и радиусом вписанной окружности $$r$$ (который равен R в данном случае):

   $$ r = \frac{a_{оп}\sqrt{3}}{2} $$

   Отсюда находим сторону $$a_{оп}$$:

   $$ R = \frac{a_{оп}\sqrt{3}}{2} Arr a_{оп} = \frac{2R}{\sqrt{3}} $$

   Площадь описанного шестиугольника:

   $$ S_{оп} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_{оп}^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 $$$$ S_{оп} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4R^2}{3} = 2\sqrt{3} R^2 $$
3. Находим отношение площадей:

   $$ \frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2} R^2}{2\sqrt{3} R^2} $$

   Сокращаем $$R^2$$ и $$\sqrt{3}$$:

   $$ \frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4} $$

Ответ: Отношение площадей вписанного и описанного правильных шестиугольников равно 3:4.