1183 Найдите площадь S правильного n-угольника, если: а) n=4, R = 3√2 см; б) n=3, P = 24 см; в) n=6, r = 9 см; г) n=8, r = 5√3 см.

Решение:

Площадь правильного n-угольника можно найти по формулам:

• Через радиус описанной окружности R: $$ S = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) $$
• Через радиус вписанной окружности r: $$ S = n r^2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) $$
• Через периметр P и радиус вписанной окружности r: $$ S = \frac{1}{2} P r $$
• Через сторону a и радиус вписанной окружности r: $$ S = \frac{1}{2} n a r $$

а) n=4, R = 3√2 см

Используем формулу с радиусом описанной окружности:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (3\sqrt{2})^2 \sin\left(\frac{2\pi}{4}\right) $$$$ S = 2 \cdot (9 \cdot 2) \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) $$$$ S = 2 \cdot 18 \cdot 1 = 36 \text{ см}^2 $$

б) n=3, P = 24 см

Сначала найдем сторону треугольника:

$$ a = \frac{P}{n} = \frac{24 \text{ см}}{3} = 8 \text{ см} $$

Затем найдем радиус вписанной окружности:

$$ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{8 \text{ см}}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ см} $$

Теперь найдем площадь:

$$ S = \frac{1}{2} P r = \frac{1}{2} \cdot 24 \text{ см} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ см} = \frac{48}{\sqrt{3}} \text{ см}^2 = \frac{48\sqrt{3}}{3} \text{ см}^2 = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 $$

в) n=6, r = 9 см

Используем формулу с радиусом вписанной окружности:

$$ S = n r^2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) $$$$ S = 6 \cdot (9 \text{ см})^2 \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) $$$$ S = 6 \cdot 81 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} $$$$ S = \frac{486}{\sqrt{3}} = \frac{486\sqrt{3}}{3} = 162\sqrt{3} \text{ см}^2 $$

г) n=8, r = 5√3 см

Используем формулу с радиусом вписанной окружности:

$$ S = n r^2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) $$$$ S = 8 \cdot (5\sqrt{3} \text{ см})^2 \tan\left(\frac{\pi}{8}\right) $$

Найдем значение $$\tan(\pi/8)$$. Используем формулу тангенса половинного угла: $$\tan(\alpha/2) = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$$

$$ \tan(\pi/8) = \frac{1 - \cos(\pi/4)}{\sin(\pi/4)} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2} = \sqrt{2}-1 $$

Теперь подставим в формулу площади:

$$ S = 8 \cdot (25 \cdot 3) \cdot (\sqrt{2}-1) $$$$ S = 8 \cdot 75 \cdot (\sqrt{2}-1) $$$$ S = 600 (\sqrt{2}-1) \text{ см}^2 $$

Ответ:

• а) $$S = 36$$ см²
• б) $$S = 16\sqrt{3}$$ см²
• в) $$S = 162\sqrt{3}$$ см²
• г) $$S = 600(\sqrt{2}-1)$$ см²