12. (1 балл) В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 8, а cos A = √7/4. Найдите высоту, проведенную к основанию.

Краткая запись:

• Треугольник ABC — равнобедренный.
• Основание AC.
• Боковая сторона AB = 8.
• cos A = \( \frac{\sqrt{7}}{4} \).
• Найти: высоту BH к основанию AC — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В равнобедренном треугольнике ABC, проведенная к основанию высота BH является также медианой и биссектрисой. Следовательно, она делит основание AC пополам, и угол A пополам.
2. Шаг 2: В прямоугольном треугольнике ABH, косинус угла A равен отношению прилежащего катета AH к гипотенузе AB: \( \cos A = \frac{AH}{AB} \).
3. Шаг 3: Найдем длину отрезка AH: \( AH = AB \cdot \cos A = 8 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = 2\sqrt{7} \).
4. Шаг 4: Так как BH — медиана, то \( AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7} \).
5. Шаг 5: В прямоугольном треугольнике ABH, применим теорему Пифагора: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).
6. Шаг 6: Найдем высоту BH: \( BH^2 = AB^2 - AH^2 = 8^2 - (2\sqrt{7})^2 = 64 - (4 \cdot 7) = 64 - 28 = 36 \). \( BH = \sqrt{36} = 6 \).

Ответ: 6