17. (1 балл) Решить уравнение sin²x-2sin x-3=0. Ответ:

Краткая запись:

• Уравнение: \( \sin^2 x - 2\sin x - 3 = 0 \)
• Найти: Решение уравнения — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Введем замену переменной. Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 2y - 3 = 0 \).
2. Шаг 2: Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта. \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).
3. Шаг 3: Найдем корни: \( y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2} \).
4. Шаг 4: \( y_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
5. Шаг 5: \( y_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).
6. Шаг 6: Вернемся к замене: \( \sin x = y \).
7. Шаг 7: Подставим найденные значения \( y \). \( \sin x = 3 \). Это уравнение не имеет решений, так как \( -1 \leq \sin x \leq 1 \).
8. Шаг 8: \( \sin x = -1 \). Решением этого уравнения является \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)