20.(3 балла) Равнобочная трапеция с основаниями 10 см и 18 см и высотой 3 см вращается около меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Краткая запись:

• Трапеция равнобочная.
• Основания: \( a = 18 \) см, \( b = 10 \) см.
• Высота трапеции: \( h = 3 \) см.
• Вращение около меньшего основания (b=10 см).
• Найти: Площадь поверхности тела вращения — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Тело вращения состоит из цилиндра и двух усеченных конусов по бокам.
2. Шаг 2: Радиус цилиндра равен высоте трапеции, \( r = h = 3 \) см. Высота цилиндра равна меньшему основанию трапеции, \( H_{цилиндра} = b = 10 \) см.
3. Шаг 3: Площадь боковой поверхности цилиндра: \( S_{цилиндра} = 2\pi r H_{цилиндра} = 2\pi \cdot 3 \cdot 10 = 60\pi \) см².
4. Шаг 4: Найдем длину боковой стороны трапеции (l). Проведем высоту из концов меньшего основания к большему. Получим прямоугольные треугольники, катеты которых равны высоте трапеции (3 см) и половине разности оснований: \( \frac{a-b}{2} = \frac{18-10}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см.
5. Шаг 5: По теореме Пифагора найдем боковую сторону: \( l^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \). \( l = \sqrt{25} = 5 \) см.
6. Шаг 6: При вращении трапеции вокруг меньшего основания образуются два усеченных конуса. Радиусы оснований усеченных конусов равны высоте трапеции (r=3 см) и расстоянию от вершины меньшего основания до соответствующей вершины большего основания, которое равно меньшей стороне трапеции (l=5 см). Высота усеченных конусов равна половине разности оснований (4 см).
7. Шаг 7: Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле \( S_{бок.ус.к.} = \pi (R+r) l' \), где \( R \) и \( r \) — радиусы оснований, \( l' \) — образующая. В нашем случае, образующая — это боковая сторона трапеции, \( l'=l=5 \) см.
8. Шаг 8: Площадь боковой поверхности одного усеченного конуса: \( S_{бок.ус.к.1} = \pi (3+5) · 5 = 40\pi \) см².
9. Шаг 9: Так как у нас два одинаковых усеченных конуса (по бокам от цилиндра), их суммарная площадь боковой поверхности: \( 2 · 40\pi = 80\pi \) см².
10. Шаг 10: Площадь верхнего и нижнего основания цилиндра (они же являются основаниями усеченных конусов) рассчитывается как площадь круга: \( S_{осн.} = \pi r^2 = \pi · 3^2 = 9\pi \) см².
11. Шаг 11: Общая площадь поверхности тела вращения равна сумме площади боковой поверхности цилиндра, двух площадей боковых поверхностей усеченных конусов и площадей двух оснований цилиндра.
12. Шаг 12: \( S_{полн.} = S_{цилиндра} + 2 · S_{бок.ус.к.1} + 2 · S_{осн.} \)
13. Шаг 13: \( S_{полн.} = 60\pi + 80\pi + 2 · 9\pi = 60\pi + 80\pi + 18\pi = 158\pi \) см².

Ответ: \( 158\pi \) см²