12.15. Формуласымен берілген сандар тізбегінің кемімелі болатынын дәлелдеңдер: 1) (a_n=302-53n); 2) (a_n=-5n^2+3n-2); 3) (a_n=-9n^2+10n+25); 4) \(a_n=\frac{n-5}{n-2}\); 5) \(a_n=\frac{2n+5}{n+1}\); 6) \(a_n=\frac{4n+15}{n-3}\).

Кемімелі екенін тексеру үшін көршілес мүшелердің айырмасы теріс болуын қараймыз.

1. (a_{n+1}-a_n=-53<0), сондықтан тізбек кемімелі.

2. (a_{n+1}-a_n=-10n-2<0) (\(n\ge1\)), сондықтан тізбек кемімелі.

3. (a_{n+1}-a_n=-18n+1<0) (\(n\ge1\)), сондықтан тізбек кемімелі.

4. Бұл тармақта (n=2) кезінде өрнек анықталмаған. \(n\ge3\) үшін (a_{n+1}-a_n=\(\frac{3}{(n-1)(n-2)}\)>0), демек тізбек кемімейді, керісінше өседі. Сондықтан берілген тұжырым бұл формула үшін дұрыс емес.

5. (a_{n+1}-a_n=-\(\frac{3}{(n+1)(n+2)}\)<0), сондықтан тізбек кемімелі.

6. (n=3) кезінде өрнек анықталмаған. Егер тізбектің индексі \(n\ge4\) деп алынса, онда (a_{n+1}-a_n=-\(\frac{27}{(n-2)(n-3)}\)<0), сондықтан осы индекстерде тізбек кемімелі. Барлық натурал индекстер үшін қарастырғанда (a_2=-23

Қорытынды: 1), 2), 3), 5) — кемімелі. 4) — өспелі (\(n\ge3\)); 6) — \(n\ge4\) кезінде кемімелі, бірақ барлық анықталған натурал индекстерде кемімелі емес.