12. logo.5(x² + 1) ≤ logo.5(2x - 5)

Решение:

Неравенство имеет вид \( \log_{0.5} (x^2+1) \le \log_{0.5} (2x-5) \).

Поскольку основание логарифма \( 0.5 \) находится в пределах \( 0 < 0.5 < 1 \), функция \( y = \log_{0.5} x \) является убывающей. При сравнении аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

\( x^2+1 \ge 2x-5 \)

\( x^2 - 2x + 1 + 5 \ge 0 \)

\( x^2 - 2x + 6 \ge 0 \)

Решим квадратное неравенство. Найдём дискриминант квадратного трёхчлена \( x^2 - 2x + 6 \).

\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20 \)

Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)) и коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( 1 > 0 \)), то парабола \( y = x^2 - 2x + 6 \) всегда находится выше оси Ox. Следовательно, \( x^2 - 2x + 6 \ge 0 \) выполняется для всех действительных значений \( x \).

Теперь необходимо учесть область определения логарифма:

\( 2x-5 > 0 \)

\( 2x > 5 \)

\( x > 5/2 \)

Поскольку первое условие \( x^2 - 2x + 6 \ge 0 \) выполняется для всех \( x \), то решением неравенства будет область определения логарифма:

\( x > 5/2 \)

Ответ: \( x > 5/2 \).