12. На стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы AEB и BDC тоже равны. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Так как \(AD=CE\), точки \(D\) и \(E\) симметричны относительно середины отрезка \(AC\): середина отрезка \(DE\) совпадает с серединой \(AC\).

Рассмотрим прямую \(AC\) как горизонтальную ось, а её середину примем за начало координат. Тогда координаты точек \(D\) и \(E\) имеют вид \((-d,0)\) и \((d,0)\) (или наоборот). Пусть \(B=(u,v)\), где \(v\ne0\).

Луч \(EA\) и луч \(DC\) направлены вдоль \(AC\) в противоположные стороны. Равенство углов \(AEB\) и \(BDC\) означает, что отрезки \(EB\) и \(DB\) образуют с этими противоположными направлениями равные углы. Следовательно, проекция точки \(B\) на \(AC\) равноудалена от \(D\) и \(E\). Значит, эта проекция — середина \(DE\), которая одновременно является серединой \(AC\).

Итак, точка \(B\) лежит на перпендикулярном биссекторе отрезка \(AC\), поэтому \(BA=BC\).

Следовательно, треугольник \(ABC\) равнобедренный.