Контрольные задания > 12. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD=20.
Вопрос:

12. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD=20.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткая запись:

  • Трапеция ABCD
  • \( \angle ABC = 30^{\circ} \)
  • \( \angle BCD = 120^{\circ} \)
  • CD = 20
  • Найти: AB
Краткое пояснение: Построим через вершину C прямую, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке E. Тогда ABCE станет параллелограммом, что позволит нам использовать свойства параллелограмма и треугольника CED.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Проведем через вершину C прямую, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке E.
  2. Шаг 2: По построению, ABCE — параллелограмм. Значит, AE = BC, AB = CE, и \( \angle BAE = \angle BCE \) (как углы при боковой стороне параллелограмма, сумма которых равна 180°).
  3. Шаг 3: В параллелограмме ABCE, \( \angle ABC + \angle BCE = 180^{\circ} \). Так как \( \angle ABC = 30^{\circ} \), то \( \angle BCE = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \).
  4. Шаг 4: У нас дано, что \( \angle BCD = 120^{\circ} \). Это означает, что точка E лежит на основании AD, и \( \angle ECD = \angle BCE - \angle BCD = 150^{\circ} - 120^{\circ} = 30^{\circ} \).
  5. Шаг 5: Рассмотрим треугольник CED. Мы знаем, что \( CD = 20 \) и \( \angle ECD = 30^{\circ} \).
  6. Шаг 6: Так как AD || BC, а CE || AB, то \( \angle CED = \angle ABC = 30^{\circ} \) (как соответственные углы при параллельных AD и BC и секущей CE).
  7. Шаг 7: В треугольнике CED, \( \angle CED = \angle ECD = 30^{\circ} \). Это означает, что треугольник CED — равнобедренный с основанием ED. Следовательно, ED = CD = 20.
  8. Шаг 8: Мы ищем длину боковой стороны AB. Поскольку ABCE — параллелограмм, то AB = CE.
  9. Шаг 9: В равнобедренном треугольнике CED, проведем высоту CH из вершины C на основание ED. В равнобедренном треугольнике высота также является медианой и биссектрисой.
  10. Шаг 10: \( \angle ECH = \angle DCH = \frac{\angle ECD}{2} = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ} \).
  11. Шаг 11: Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. \( \angle CDH = 180^{\circ} - \angle CED - \angle ECD = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ} \) - это угол трапеции при основании AD.
  12. Шаг 12: Давайте пересмотрим построение. Если \( \angle ABC = 30^{\circ} \) и \( \angle BCD = 120^{\circ} \), то AD || BC.
  13. Шаг 13: Проведем высоту из B на AD (точка H1) и из C на AD (точка H2).
  14. Шаг 14: \( \angle BCD = 120^{\circ} \). Угол прилежащей к основанию AD, \( \angle ADC \) неизвестен.
  15. Шаг 15: Вернемся к построению параллелограмма ABCE. \( AB = CE \). \( \angle BCE = 150^{\circ} \). \( \angle BCD = 120^{\circ} \).
  16. Шаг 16: \( \angle ECD = \angle BCE - \angle BCD = 150^{\circ} - 120^{\circ} = 30^{\circ} \).
  17. Шаг 17: Угол \( \angle ADC \) (или \( \angle CDE \)) трапеции. Сумма углов при боковой стороне AD равна 180°, если AD || BC.
  18. Шаг 18: В параллелограмме ABCE, \( \angle A = \angle BCE = 150^{\circ} \) и \( \angle B = \angle AEC = 30^{\circ} \).
  19. Шаг 19: Угол \( \angle CDE = 180^{\circ} - \angle ADC \) - это не поможет.
  20. Шаг 20: Построим через C прямую, параллельную AB. ABCE - параллелограмм. AB=CE. \( \angle BCE = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \). \( \angle BCD = 120^{\circ} \). \( \angle ECD = 150^{\circ} - 120^{\circ} = 30^{\circ} \).
  21. Шаг 21: В треугольнике CED, \( \angle CED = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \) - это неверно. \( \angle CED \) и \( \angle ABC \) не связаны напрямую.
  22. Шаг 22: Если AD || BC, то \( \angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ} \) и \( \angle BCD + \angle ADC = 180^{\circ} \).
  23. Шаг 23: \( \angle BAD = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \). \( \angle ADC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
  24. Шаг 24: Рассмотрим треугольник CED. CD=20. \( \angle CDE = 60^{\circ} \).
  25. Шаг 25: Угол \( \angle BCE = 150^{\circ} \). \( \angle ECD = 30^{\circ} \).
  26. Шаг 26: В треугольнике CED: \( \angle CED = 180^{\circ} - \angle CDE - \angle ECD = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ} \).
  27. Шаг 27: Значит, треугольник CED — прямоугольный с прямым углом E.
  28. Шаг 28: В прямоугольном треугольнике CED, \( \angle ECD = 30^{\circ} \), \( \angle CDE = 60^{\circ} \). \( CD = 20 \) — это гипотенуза.
  29. Шаг 29: Найдем CE. \( CE = CD \sin(\angle CDE) \) или \( CE = CD \cos(\angle ECD) \).
    \( CE = 20 \cos(30^{\circ}) = 20 \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \).
  30. Шаг 30: Так как ABCE — параллелограмм, то AB = CE.

Ответ: \( 10\sqrt{3} \)

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие