8. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN=12, AC=42, NC=25.

Краткая запись:

• Треугольник ABC
• MN || AC
• M лежит на AB
• N лежит на BC
• MN = 12
• AC = 42
• NC = 25
• Найти: BN

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: По условию MN || AC. Следовательно, треугольник MBN подобен треугольнику ABC (по первому признаку подобия: по двум углам). Угол B является общим для обоих треугольников, а углы \( \angle BMN = \angle BAC \) и \( \angle BNM = \angle BCA \) как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущих AB и BC соответственно.
2. Шаг 2: Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: \( \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \).
3. Шаг 3: Подставим известные значения: \( \frac{BN}{BC} = \frac{12}{42} \).
4. Шаг 4: У нас есть \( BC = BN + NC \). Подставим это в пропорцию: \( \frac{BN}{BN + NC} = \frac{12}{42} \).
5. Шаг 5: Подставим значение NC = 25: \( \frac{BN}{BN + 25} = \frac{12}{42} \).
6. Шаг 6: Решим уравнение относительно BN: \( 42 BN = 12 (BN + 25) \)
   \( 42 BN = 12 BN + 12 25 \)
   \( 42 BN - 12 BN = 300 \)
   \( 30 BN = 300 \)
   \( BN = \frac{300}{30} = 10 \).

Ответ: 10