12. Найдите коэффициент при первой степени переменной Х у многочлена P(x) = (1+3x)⁹

Решение:

Воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения выражения \( (a+b)^n \):

\[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \]

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 3x \), \( n = 9 \).

Разложение многочлена \( P(x) = (1+3x)^9 \):

\[ (1+3x)^9 = \sum_{k=0}^{9} C_9^k 1^{9-k} (3x)^k = \sum_{k=0}^{9} C_9^k (3x)^k = \sum_{k=0}^{9} C_9^k 3^k x^k \]

Нас интересует коэффициент при первой степени переменной \( x \), то есть при \( x^1 \). Это соответствует случаю, когда \( k = 1 \).

Коэффициент при \( x^1 \) равен:

\[ C_9^1 \cdot 3^1 \]

Вычислим:

\[ C_9^1 = \frac{9!}{1!(9-1)!} = \frac{9!}{1!8!} = 9 \]

\[ 9 \cdot 3^1 = 9 \cdot 3 = 27 \]

Ответ: 27