12) Найдите корень уравнения 36^{x-11} = \(\frac{1}{6}\).

Решение:

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Известно, что \( 36 = 6^2 \) и \( \frac{1}{6} = 6^{-1} \).

Запишем уравнение с основанием 6:

\[ (6^2)^{x-11} = 6^{-1} \]

Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\[ 6^{2(x-11)} = 6^{-1} \]

\[ 6^{2x - 22} = 6^{-1} \]

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

\[ 2x - 22 = -1 \]

\[ 2x = -1 + 22 \]

\[ 2x = 21 \]

\[ x = \frac{21}{2} = 10.5 \]

Ответ: 10.5.